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乘法公式

這幾天我同學寫臺南一中的暑假作業，發現許多題目不會解。

要將國中數學學好並非難事，畢竟基測數學科難度偏易。只要平時努力，拿滿分並不難。到了高中就完全不同，因為課程加深、加廣，使許多人遭受挫折。數學與文科不同，考試不能靠背書得分，因為必須透過「理解」與「練習」，考試才能獲佳績。

說實話，並不是每個對數學都有天賦。有些人一看到題目，解法就立刻在腦海中浮現；有些人卻苦苦思所半天都想不出答案。雖然老師常說勤能補拙，這句話並非在所有地方都適用：譬如說和天才相比。但畢竟「天才」不常見，因此只要努力仍然可以勝過大部分的人。

其實，有人認真讀書，但無論如何都比不上別人。通常這些人都是讀書方法錯誤，因此事倍功半。有一次，我聽張老師說有個學生考試前在看一本數學。老師看到後問：「你在做什麼？」那人回答：「我在念數學。」我和幾位同學聽到這個故事後都笑翻了。事實上，要學好數學，必須將觀念弄清楚，然後多練習。若我們看課本就能將數學學好，考試又何必考計算與證明？

臺灣的教育中，數學計算能力十分重要，因此許多人忽略了理解能力。許多學生為了應付考試，腦袋中塞滿了公式，但完全不知道公式如何來的。這是臺灣教育的失敗之一。我們應該很清楚，公式只不過是輔助工具，且不是萬能的。有則可喜，沒有也不必太擔憂。但這也不表示公式對我們有害無益，而是該記的公式要記，但要明白公式如何來的和如何運用。

乘法公式

以下是國中曾學的乘法公式：

1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
4. $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

以下是南一中數學暑假作業中一些乘法公式的由來：

1. $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
先將 a³ + b³ 拆成完全立方減 3ab(a + b)：
$= (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
然後將 (a + b)³ 展開成 (a + b)(a² + 2ab + b²)：
$= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) - 3ab(a + b)$
最後用結合律即可得到：
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

2. $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
先將 a³ – b³ 拆成完立方加 3ab(a – b)：
$= (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
然後將 (a – b)³ 展開成 (a – b)(a² – 2ab + b²)：
$= (a - b)(a^2 - 2ab + b^2) + 3ab(a - b)$
最後用結合律即可得到：
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

3. $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
將 a³ + b³ 拆成 (a + b)³ – 3ab(a+b)：
$= (a + b)^3 - 3ab(a + b) + c^3 - 3abc$
然後用用公式分解 (a + b)³ + c³，並且用結合律合併 3ab(a + b) 與 3abc：
$= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - bc - ca) - 3ab(a + b + c)$
最後再用一次結合律即可得：
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

4. $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$
首先配完全平方，再減 a² + b²：
$= (a^2 + b^2)^2 - a^2b^2$
然後利用 x² – y² = (x + y)(x – y) 將兩項合併即可得：
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$

順便提一下，網路上有個工具叫 Factoris 可以因式分解整數、有理數、多項式或有理函數。輸入方式在網站上有範例。希望各位看到這個工具後是用來確認自己的答案，而不是用它來寫數學作業。

Factoris 缺點有三個：

輸入有未知數相乘的多項式中，必須用 *。例如：必須打 x*y，因 xy 無效
不會列出計算過成，只有答案。
因式分解完的多項式很亂，未整理過。

註：和的平方與平方和之差別：

a 與 b 和的平方： $(a + b)^2$
a 與 b 的平方和： $a^2 + b^2$

作者為dennylin93

2008/06/30 at 10:02 下午

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AMC 10

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今天早上去德光女中參加 AMC 10，也遇見 Rindy。去年與 Kenneth 參加 AMC 8 時只拿到 16/25，但今年做 AMC 10 歷屆試題有時只錯兩三題。

這次考中共有 4 題未算，因此若無計算錯誤預計得 132/150（答對一題 6 分，不作答 1.5 分，錯誤答案 0 分）。參加 AMC 10 令我發現在這一年中數學進步不少，但仍然有進步空間，因為某些方面仍然較弱。

今天也收到過年前所訂的 The Six Sacred Stones，這星期應該可以讀完。

寒假結束後離基測只剩大約 100 天，若要考上第一志願這學期非努力不可。

作者為dennylin93

2008/02/17 at 7:25 下午

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Derivations of the quadratic formula

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There are many different derivations of the quadratic formula. The first one shown below is the one I was taught in school, and I found out about the second one on Wikipedia.

Complete the square
The derivation of the quadratic formula can be derived by the method of completing the square:
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2.$
Divide the quadratic equation
$ax^2+bx+c=0$
by a (which is allowed because a ≠ 0) results in:
$x^2 + \frac{b}{a} x= - \frac{c}{a}.$
In order for a square to be completed, a constant k must be added to the square:
$x^2 + \frac{b}{a} x + k = x^2 + 2xy + y^2$
In order for these equations to be true,
$y = \frac{b}{2a}$
and
$k = y^2= \frac{b^2}{4a^2}$

Thus, the square is now completed:
$x^2 + \frac{b}{a} x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}.$
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$
Taking the square root on both sides yields:
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$
Isolating x gives:
$x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$

Alternative derivation
Start with the general form of a quadratic equation:
$ax^2+bx+c=0.$
Multiply both sides by 4a and subtract 4ac from both sides:
$4a^2x^2+4abx=-4ac.$
Add b² to both sides:
$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac.$
Factorize the left-hand side:
$\left(2ax+b \right)^2=b^2-4ac.$
Take the square root of both sides:
$2ax+b= \pm \sqrt {b^2-4ac}.$
Isolating x yields:
$x= \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$